МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАРАФОН «ЗАДАЧА НЕДЕЛИ»
РЕШАЕМ И ОБСУЖДАЕМ!



Задача 8

23.03 – 05.04

Петя и Вася играют с бусинами, а Колыван и Змей Горыныч играют в лото. Договорились, что играют не больше 10 партий. Проигравший в первой партии платит выигравшему 1 монету, во второй – две, в третьей – четыре, т.е. ставка в каждой следующей партии в два раза больше, чем в предыдущей. В результате Змей Горыныч должен Колывану 601 монету. Сколько партий сыграли Колыван и Горыныч, и какие партии выиграл Горыныч?

Долг в играх подсчитывают так.

Например, два игрока играют четыре партии, где ставка за каждую – 5 монет. Пусть первый игрок выиграл первую партию, а остальные проиграл. Тогда выигрыш первого игрока – 5 монет, а второго -15 монет. Первый игрок будет должен второму игроку 15-5=10 монет.

Верные решения прислали:

Алексей Фомин (6 класс Лицея №25 г. Омска), Анастасия Соловьева (6 класс СОШ № 132 г. Омска), Екатерина Шадрина (6 класс гимназии №75 г.Омска) и Алексей Михайловский (7 класс лицея №22 г.Иваново).

Все участники основательно поработали над задачей и получили верный ответ. Молодцы! В чём же дело? Почему список верно решивших задачу такой короткий? Основная проблема в следующем: в решениях сразу предполагается, что Колыван и Горыныч сыграли 10 партий. В условии сказано, что играют они НЕ БОЛЬШЕ 10 партий, это значит, что они могут сыграть 10 и меньше партий. Вот обоснования того, почему меньше 10 партий они сыграть не могли, и не хватило до верного решения. По мнению одного из членов жюри муниципальной и региональной олимпиад по математике, на олимпиаде такое решение оценивалось бы 4-5 баллами из 7. Если же в решении приведён только пример с проверкой, то на олимпиаде вы бы получили 0-1 балл из 7.

4-5 баллов из 7 – это неплохо. Как вам кажется?

Марафонцы решали задачу двумя способами.

Алексей Фомин и Екатерина Шадрина рассуждали так.

Горыныч и Колыван сыграли 10 партий, т.к. для девяти партий недостаточно монет (1+2+4+8+16+32+64+128+256=максимум 511 монет).

Если бы Горыныч проиграл все десять партий, то долг был бы 1023 монеты, значит, хотя бы одну Горыныч выиграл.

Десятую партию Колыван точно выиграл (512 монет), т.к. без нее был бы недобор монет (до 601).

Девятую тоже должен выиграть Колыван, т.к. если он ее проиграет, то максимальный вариант (512+128+64+32+16+8+4+2+1-256=511 < 601).

Восьмую он проиграл, так как если бы он ее выиграл, то минимум получается 512+256+128-64-32-16-8-4-2-1=769>601.

Из этого следует 512+256-128=640.

Седьмую партию Колыван должен проиграть, т.к. если бы он ее выиграл, то минимум получается 640+64-32-16-8-4-2-1=641.

Итого 640-64=576.

Шестую партию Колыван выиграл, т.к. если бы он ее проиграл, то максимум был бы 576-32+1+2+4+8+16=575.

Итого 576+32=608.

Пятую партию Колыван проиграл, так как минимум при выигрыше был бы 608+16-1+2+4+8=609.

Итого 608-16=592.

Четвертую партию он выиграл, т.к. максимум при выигрыше был бы 592-8+1+2+4=591.

592+8=600.

Соответственно, третью партию он выиграл (максимум при проигрыше был бы 600-4+1+2=599)

600+4=604.

Ну, и первую и вторую Колыван, очевидно, проиграл. 604-1-2=601.

Ответ: Всего сыграли 10 игр, Горыныч выиграл 1, 2, 5, 7, 8 игры.

Большинство других участников сначала нашли выигрыши Колывана и Горыныча. Ребята либо явно составили систему уравнений, либо нашли эти выигрыши по их сумме и разности. Второй шаг в решении сводился в конечном счёте к представлению выигрышей в двоичной системе счисления. Такое представление единственно (о чём тоже неплохо было бы упомянуть в решении).

Приводим здесь решение Анастасии Соловьевой.

Колыван и Горыныч сыграли всего 10 партий, не меньше. Они не могли сыграть даже 9 партий, потому что максимальная сумма выигрыша 9 партий — 511 монет. А Змей Горыныч проиграл 601 монету.

Пусть выигрыш Колывана — К монет, а выигрыш Горыныча — З монет.

По условию задачи, больше 10 партий в игре не может быть. А каждая ставка увеличивается вдвое. Из этого я написала, сколько монет можно выиграть всего и за каждую из десяти партий в отдельности:

1) 1, 2) 2, 3) 4, 4) 8, 5) 16, 6) 32, 7) 64, 8) 128, 9) 256, 10) 512.

Всего: 1023 монеты.

Теперь, я могу вывести уравнения и решить их:

К+З=1023 ( общий выигрыш в игре за 10 партий)

Отсюда К=1023-З

К-З=601 (Горыныч проиграл и должен Колывану 601 монету).

Подставляем К во второе уравнение и решаем:

1023-2З=601 К=1023-211

2З=1023-601 К=812 ( Выигрыш Колывана в игре)

2З=422

З=422:2

З=211 ( Выигрыш Горыныча в игре)

Теперь я могу найти, какие партии выиграл Змей Горыныч и какие партии выиграл Колыван:

Находим, что: 211 = 1+2+16+64+128, т.е. партии выигрыша Горыныча: 1,2,5,7 и 8.

Ответ: Колыван и Горыныч сиграли 10 партий и Горыныч выиграл 1,2,5,7 и 8 партии.

Узнать о различных системах счисления, в частности, о переводе числа из десятичной системы счисления в любую другую, вы можете, например, из книги С.В. Фомина «Системы счисления».

Колыван и Змей Горыныч от Климентия Шапакова.


row