МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАРАФОН «ЗАДАЧА НЕДЕЛИ»
РЕШАЕМ И ОБСУЖДАЕМ!



Задача 7

17.03 – 23.03

Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Составьте план из четырех взвешиваний, позволяющий найти обе фальшивых монеты и определить, легче они или тяжелее, чем настоящие.

Комментарий

Чашечные весы выглядят примерно так, как показано на рисунке.

Каждое взвешивание даёт один из трёх результатов:

• перевесила левая чаша,

• перевесила правая чаша,

• чаши находятся в равновесии.

Автор задачи Константин Александрович Кноп. Задача предлагалась на одном из Уральских турниров юных математиков.

Участники марафона предложили три подхода к решению задачи. Они сравнивали монетки по одной, по парам и по тройкам.

Алексей Фомин (5 класс лицея №25 г.Омска), Максим Кривко (5 класс гимназии №75 г.Омска), Степан Степанов (1 класс СОШ №3 г.Мегиона), Михаил Шахов (5 класс МОЦРО № 117, г.Омск) и Станислав Муравицкий (7 класс лицея №64 г.Омска) проводили сравнение четырёх монет с выбранной.

Решение Алексея Фомина.

«Взвесим две любые монетки.

1) Если они находятся в равновесии, то откладываем одну из них в кучку 1, берем следующую монетку и сравниваем ее с первой. Если они находятся в равновесии, то это означает, что все они не фальшивые (т.к. уже три монетки одинакового веса), кладем третью монетку в ту же кучку 1. Если же эта третья монетка отличается по весу, кладем ее в кучку 2. Берем четвертую монету. Аналогично, если она одинаковая с первой, кладем ее в кучку 1, если она отличается, в кучку 2. С пятой монетой то же самое. Первую монету кладем в кучку 1. У нас осталась одна невзвешенная монета и две кучки. В одной из кучек будет больше двух монет (2 и 3 либо 1 и 4), в этой кучке и будут настоящие монеты. Если в кучках 2 и 3, то оставшаяся монета – настоящая, если кучки 1 и 4, то оставшаяся монета – фальшивая.

2) Если монеты отличаются, то берем, например, ту, что весит больше и убираем в кучку 1. Берем следующую монету и сравниваем ее с первой. Если она будет снова тяжелее, кладем ее также в кучку 1. А если будет одинаковой, то кладем ее в кучку 2. Со следующими монетами поступаем так же как и в случае 1».

Из результатов взвешиваний становится ясно, легче фальшивая монета или тяжелее настоящей.

Станислав Муравицкий тоже сравнивал одну монетку с четырьмя другими и перебрал ВСЕ возможные результаты таких взвешиваний.

«Разделим монеты на 3 кучи:

1-я куча-1 монета, 2-я куча – 4 монеты, 3-я куча – 1 монета.

Сравним монету из 1-й кучи со всеми монетами второй кучи:

Вариантов 4:

1. Во второй куче будет три монеты равных по весу нашей.

Тогда это настоящая, т к фальшивых только две. Тогда две оставшиеся монеты(одна из 2-й кучи, а другая из 3-й) будут фальшивыми. а так как мы сравнивали фальшивую монету из 2-й кучи с настоящей монетой из 1-й (то, что она настоящая мы только что выяснили), мы знаем легче фальшивые монеты или тяжелее, так как вес фальшивых монет одинаковый.

2. Во второй куче будет две монеты равных по весу нашей.

Тогда наша монета настоящая, так как в сумме их три, а фальшивых только две. Значит, две оставшиеся монеты из 2-й кучи являются фальшивыми, а так как мы их сравнивали с настоящей, которую только что нашли, мы знаем, легче фальшивые или тяжелее.

3. Во второй куче будет одна монета равная по весу нашей.

Тогда наша монета фальшивая и та, которая равна ей по весу из 2-й кучи - тоже. Так как мы сравнивали нашу первую фальшивую монету с настоящими, то мы знаем, легче или тяжелее фальшивые монеты.

4. Во второй куче не будет монет равной по весу нашей первой.

Тогда наша монета - фальшивая, а вторая фальшивая находится в 3-й куче. Так как мы сравнивали первую монету с настоящими монетами из 2-й кучи, то мы сможем узнать легче или тяжелее фальшивые монеты».

Болтенков Артём (4 класс Второй Новосибирской гимназии), Екатерина Шадрина (5 класс гимназии №75 г.Омска), Анна Пинигина (7 класс СОШ №73 г.Омска) и Ирина Рымарь (г.Омск) сначала разбивали монеты на пары. Решение Ирины Рымарь (оно наиболее короткое) сводится к следующему.

Берем любые 4 монеты и взвешиваем (2 монеты и 2 монеты) [1].

1) Если весы равновесны, то обе оставшиеся монеты либо настоящие (фальшивые на каждой чаше весов по одной), либо фальшивые. Сравниваем две монеты с правой чашки весов [2].

a. Если весы равновесны, то 2 невзвешенные монеты – фальшивые. Еще одним взвешиванием [3] определяем, тяжелее или легче фальшивая монета, чем настоящая.

b. Если весы не равновесны, то 2 невзвешенные монеты – настоящие. Сравниваем две монеты с левой чашки весов первого взвешивания [3]. Берем две легкие монеты (a и b) и сравниваем с двумя настоящими [4]: если весы в равновесии, то фальшивые монеты тяжелее настоящих, иначе – легче.

2) Если весы не равновесны, то либо 2 невзвешенные монеты – настоящие (и две фальшивые на одной из чашек весов), либо остались настоящая и фальшивая. Сравниваем две оставшиеся монеты [2].

a. Если весы равновесны, то это настоящие монеты. Берем две легкие монеты (из [1]-го взвешивания) и сравниваем с двумя настоящими [3]: если весы в равновесии, то фальшивые монеты тяжелее настоящих, иначе – легче.

b. Если весы не равновесны, то сравниваем две легкие монеты (из [1]-го

взвешивания) между собой [3]. Если весы в равновесии, то фальшивая монета тяжелее настоящей и из [2]-го взвешивания известна одна фальшивая (тяжелая). Сравниваем две тяжелые монеты (из [1]-го взвешивания) между собой [4]: тяжелая – фальшивая. Если весы не равновесны, то лёгкая монета – фальшивая и из [2]-го взвешивания известна ещё одна фальшивая (лёгкая).

Анастасия Соловьёва (5 класс СОШ №132 г.Омска) и второклассники СОШ №160 г.Санкт-Петербурга: Алексеев Владимир, Антипов Данила, Бондарчук Дарья, Вельмова Анастасия, Дудин Даниил, Захарова Елизавета, Ким Леонид, Лученко Мария, Маракова Мария, Михайлова Елизавета, Момбинда Антуан, Носова Анна, Рожнов Максим, Русаков Ратибор, Сидоров Максим, Упитис Анастасия, Харитонова Анастасия первым взвешиванием сравнивали тройки монет.

Решение, предложенное второклассниками из Санкт-Петербурга.

1) Раскладываем монеты на 2 чаши по 3 штуки на каждую. Если чаши уравновесились, значит, фальшивые монеты на разных чашах. Если равновесия нет - обе фальшивые монеты на 1 чаше.

2) Если чаши уравновесились.

Работаем с 3 монетами, взятыми с одной из чаш (3 монеты с другой чаши пока откладываем в сторону). Кладём на разные чаши 2 из них.

Если весы в равновесии, третья монета фальшивая.

Если не в равновесии, третья монета настоящая; запоминаем, какая монета перевешивала на весах (первая или вторая).

2) Если чаши не уравновесились.

Запоминаем, какая чаша весов была тяжелее. Работаем с 3 монетами, взятыми с одной из чаш (3 монеты с другой чаши пока откладываем в сторону). Кладём на разные чаши 2 из них.

Если весы не уравновесились, третья монета фальшивая, так как обе фальшивые монеты находятся на 1 чаше. Из находящихся на весах двух монет выбираем фальшивую, вспоминая положение чаш при первом взвешивании (если чаша с фальшивыми монетами была легче, значит, и каждая монета в отдельности легче; если чаша с фальшивыми монетами была тяжелее, значит, и каждая монета в отдельности тяжелее). Задача решена.

Если весы уравновесились, переходим к третьему взвешиванию, так как обе эти монеты могут оказаться или фальшивыми, или настоящими.

3) Кладём на одну чашу весов третью монету (мы уже знаем, фальшивая она или настоящая), а на другую чашу весов первую или вторую монету.

Если третья монета была фальшивая, сразу видим, легче или тяжелее она настоящей. Если третья монета была настоящей, то она уравновесится с настоящей (тогда оставшаяся монета - фальшивая, а её положение на весах мы запомнили) или будет иметь разный вес с фальшивой (и будет видно, какая тяжелее).

3) Кладём на одну чашу весов третью монету, а на другую - первую или вторую. Если равновесия нет, первая и вторая монеты фальшивые, и на весах видно, легче или тяжелее они настоящих (можно вспомнить и первоначальное положение чаш). Задача решена.

Если третья монета уравновесится со второй или первой, фальшивые монеты находятся среди тех трёх, которые мы отложили после первого взвешивания.

4) Возвращаемся к 3 монетам, отложенным в сторону после первого взвешивания. Кладём на разные чаши весов 2 из них. Если весы в равновесии, оставшаяся - фальшивая.

Если равновесия нет, фальшивая монета на весах, а из третьего взвешивания мы уже знаем, легче она или тяжелее настоящей. Задача решена.

4) Возвращаемся к 3 монетам, отложенным в сторону после первого взвешивания; вспоминаем, легче или тяжелее была чаша с ними, а значит, и каждая фальшивая монета относительно настоящей. Кладём на разные чаши весов 2 из них.

Если весы в равновесии, то монеты на них фальшивые.

Если равновесия нет, то третья монета фальшивая, а на весах выбираем фальшивую, вспоминая положение чаш при первом взвешивании. Задача решена».

И, в завершение, решение от автора задачи.

«Разобьем монеты на три пары. При этом фальшивые монеты попадут в одну пару или в разные, но в обоих случаях две пары будут весить одинаково, а третья будет отличаться от них по весу. Сравнив за два взвешивания одну из пар с двумя другими, мы найдем две пары одного веса. Назовем их «первая» и «вторая». Третьим взвешиванием сравним две монеты первой пары. Если их веса равны, все монеты в равных по весу парах — настоящие, а обе фальшивые монеты — в третьей паре. Последним взвешиванием сравниваем настоящую монету с фальшивой и узнаем, какая тяжелее. Если при третьем взвешивании веса двух монет различны, то первая и вторая пары состоят из настоящей и фальшивой монеты, а в третьей паре обе монеты — настоящие. При этом мы уже сравнивали одну из двух первых пар с третьей и потому знаем, как соотносятся веса настоящей и фальшивой монет. Поэтому мы можем сказать, какая из монет в первой паре — фальшивая, а сравнив четвертым взвешиванием монеты второй пары, найдем и вторую фальшивую».

Благодарим всех участников, приславших нам решения!

Ждём решений новых задач!

С демо-версией книги К.А. Кнопа «Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам» серии «Школьные математические кружки» можно ознакомиться на страничке А.В. Шаповалова http://ashap.info/Knigi/Matkruzhki/index.html

Обсуждение задачи здесь 

row