МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАРАФОН «ЗАДАЧА НЕДЕЛИ»
РЕШАЕМ И ОБСУЖДАЕМ!



Задача 4

20.02 – 26.02

Условие:

Как-то раз Барон Мюнхгаузен рассказывал, что ему удалось провести через две вершины шестиугольника прямую и отрезать от шестиугольника семиугольник. Могло ли такое случиться?

Комментарий: Решить задачу означает привести один какой-нибудь пример требуемой конструкции, либо доказать, что такая конструкция невозможна.

Задачу предложила Ольга Вячеславовна Благонравова. Это перефразировка одной из задач ХVII турнира им. А.П. Савина. Автор – Владимир Михайлович Гуровиц.

Материалы турниров можно посмотреть здесь http://ashap.info/Turniry/Savin/index.html

Мы благодарим всех участников, приславших нам решения!

Правильные решения прислали:

Ирина Рымарь(г.Омск), Анна Пинигина (5 класс СОШ №73 г.Омска), Вероника Усова (5 класс МОЦРО № 117 г.Омска), Михаил Шахов (5 класс МОЦРО № 117 г.Омска), Татьяна Горохова (5 класс лицея №2 г.Братска), Анастасия Соловьёва (5 класс СОШ №132 г.Омска), Гордей Завьялов (6 класс лицея №64 г.Омска), Алиса Орехова (5 класс СОШ №83 г.Новосибирска), Полина Кириченко (6 класс МОЦРО № 117 г.Омска), Екатерина Котелевская (7 класс лицея №92 г.Омска), ученики 2б класса СОШ №160 г. Санкт-Петербурга: Алексеев Владимир, Антипов Данила, Бондарчук Дарья, Вельмова Анастасия, Дудин Даниил, Захарова Елизавета, Ким Леонид, Лученко Мария, Маракова Мария, Михайлова Елизавета, Момбинда Антуан, Носова Анна, Рожнов Максим, Русаков Ратибор, Сидоров Максим, Упитис Анастасия, Харитонова Анастасия.

Такое решение нашли наши участники:

Анна Пинигина предложила ещё и такую конструкцию:

Екатерина Котелевская поделилась не только результатом, но и процессом «трансформации» шестиугольника в шестиугольник требуемого вида.

Кстати, и ещё от одного из шестиугольников на рисунке можно отсечь семиугольник, проведя прямую через две его вершины.

Конечно, основная трудность при решении данной задачи – отказаться от привычки рассмаривать только выпуклые фигуры.

Если шестиугольник выпуклый, то у отсечённой части будет меньшее или равное число сторон, так как отрезок между вершинами пройдёт внутри или по границе многоугольника. Но если отказаться от требования выпуклости, то прямая может пройти и снаружи, а если продвинуться дальше, то частью внутри, а частью снаружи.

Методам придумывания, построения и исследования математических конструкций посвящены книги Александра Васильевича Шаповалова «Как построить пример?» и «Математические конструкции: от хижин к дворцам».

Автор считает фантазию такой же неотъемлемой частью математики как строгость и логичность. И задачи на конструкцию, с его точки зрения, учат применять фантазию в соединении со строгостью и логичностью.

«Если на вопрос «Может ли?» вы подозреваете ответ «Может», то стоит спросить себя: «Как такое может быть?». Уточните вопрос: «Какими свойствами эта конструкция должна обладать?». И хоть в задании о свойствах не спрашивается, но дополнительное знание может сильно сузить круг поисков или осветить дорогу. Какие именно свойства искать – зависит от задачи. Тут помогает как математический кругозор, так и здравый смысл. В задачах на разрезание считают число сторон, площади, длины, углы. В задачах на делимость раскладывают на простые множители и считают остатки.
Шерлок Холмс говорил «Я задаю себе вопросы и последовательно отбрасываю невозможные случаи. То, что останется, и будет правильным, каким бы невероятным это изначально не казалось».

Задавайте себе вопросы на протяжении всего построения. Вы с удивлением увидите, как много конструкций окажутся логичными и единственно возможными.»

Из книги А. В. Шаповалова «Как построить пример?».

С демо-версиями этой и других книг серии «Школьные математические кружки» можно ознакомиться на страничке А.В. Шаповалова http://ashap.info/Knigi/Matkruzhki/index.html


row