МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАРАФОН «ЗАДАЧА НЕДЕЛИ»
РЕШАЕМ И ОБСУЖДАЕМ!



Задача 3

16.02 – 22.02

Петя и Вася играют в такую игру: перед ними лежит куча, в которой 2018 красных бусинок и 2016 синих. Ребята делают ходы по очереди. Петя начинает. Своим ходом он может взять либо 2 красных, либо 1 синюю бусину. Вася своим ходом может взять либо 2 синих, либо 1 красную бусину. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Комментарий: нужно сформулировать стратегию и доказать, что она действительно ведёт к выигрышу.

Задачу предложила Анна Андреевна Киселёва.

Задача ожидаемо оказалась сложной. Все участники марафона продвинулись в решении, однако решение без недочётов и ошибок представила только Екатерина Шадрина (6 класс гимназии №75 г.Омска).

Ребята предложили две стратегии, которые приводят к выигрышу Петю.

1.Используется следующее соображение.

Если оставшееся число бусин в каждой кучке делится на 3, и следующий ход – ход Васи, то Вася не сможет последним взять бусины того цвета, который он берет (так как может взять 1 или 2, что меньше 3) , а Петя доберет своим ходом бусинку/бусинки того же цвета, что взял Вася и получит число кратное 3.
Поэтому, Петя обеспечит себе выигрыш, если первым ходом возьмёт 2 бусины красного цвета. После этого в кучке останется 2016 бусин красного и 2016 бусин синего цвета.

Каждый следующий ход:
а) Если Вася взял 2 синих, то Петя берет 1 синюю - получаем число синих бусин опять кратное 3.

б) Если Вася взял 1 красную, то Петя берет 2 красных - получаем число красных опять кратное 3.

После каждого хода Пети и количество красных, и количество синих бусин будет кратно 3. Тогда после хода Васи количество бусин одного цвета не кратно 3, а, значит, не 0, и Петя всегда может сделать ход.

Игра закончится, когда бусин не останется и последним ходом бусину/бусинки возьмет Петя. Петя выигрывает.

2. Симметричная стратегия.

Первым ходом Петя берёт две красных бусины. Таким образом, Петя уравнивает количество синих и красных бусин в кучке.

После этого Петя на каждый ход Васи отвечает симметрично: если Вася берет 1 красную бусину, то Петя берет 1 синюю бусину. Если Вася берет 2 синих бусины, то Петя берет 2 красных бусины. После каждого Петиного хода количество синих и красных бусин будет одинаково. Поэтому, если у Васи есть ход, то и у Пети будет ход. Значит, последний ход – Петин, и он выигрывает.

Основные ошибки в предоставленных решениях:

1. Стратегия сформулирована, но не доказано, что она ведёт к выигрышу, или приведенное доказательство не верно.

2. Стратегию невозможно реализовать, поскольку она содержит взаимоисключающие действия.

3. В переборных решениях рассмотрены не все варианты.

Недочётом считалось отсутствие обоснования того, что у Пети всегда есть ответный ход после хода Васи.

Математическая игра Пети и Васи глазами Климентия Шапакова.

row