МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАРАФОН «ЗАДАЧА НЕДЕЛИ»
РЕШАЕМ И ОБСУЖДАЕМ!



Задача 2

06.02 – 12.02


Условие:

Как-то раз Торин Дубощит рассказывал Элронду о поселении гномов в Синих горах. В этом поселении в скале прорублено 9 прямых и широких тоннелей, а на пересечении любого количества тоннелей стоит золотая статуя. Торин говорил, что в каждом тоннеле 5 статуй, а всего статуй 19. Однако Элронд засомневался в правдивости слов короля гномов. Имел ли он основания для сомнений?

Комментарий:

Решить такую задачу означает привести один какой-нибудь пример требуемой конструкции, либо доказать, что такая конструкция невозможна.

Задачу предложил Артём Александрович Чемеркин. Сюжет задачи принадлежит Сергею Геннадьевичу Волченкову и был взят с 30-го УТЮМа: http://cdoosh.ru/ural/ural.html

Мы благодарим всех участников, приславших нам решения!

Задача оказалась непростой.

Правильные решения прислали: Ирина Рымарь(г.Омск), Степан Степанов (1 класс СОШ №3 г.Мегиона), Александр Зарыпов (4 курс ЮрГУ г.Челябинска), семья Андреевых: Татьяна, Роман, Андрей и Вероника (7 класс СОШ №3 г.Мегиона), Анастасия Соловьёва (5 класс СОШ №132 г.Омска), Николай и Арина Койковы ( 5 и 3 классы МОЦРО № 117 г.Омска), Сергей и Анастасия Маломановы (6 класс гимназия №19 г.Омска), Елизавета Самусева (5 класс лицея №2 г.Братска), Татьяна Горохова (5 класс лицея №2 г.Братска), Розалия Боковикова (5 класс лицея №2 г.Братска), Святослсв Сухинин (6 класс лицея №23 г. Сочи), Анастасия Макарова ( 5 класс МОЦРО № 117 г.Омска).

Такое решение нашли большинство наших участников, приславших верные решения. На этом чертёже от семьи Андреевых из Мегиона чётко видны и пронумерованы тоннели, и указано расположение статуй. Нам осталось только пронумеровать статуи, чтобы ни у кого не возникло сомнений, что их 19. Число статуй в каждом тоннеле, действительно, 5.

А такое оригинальное решение прислал нам первоклассник Степан Степанов из Мегиона.

Вы можете самостоятельно пронумеровать тоннели и статуи, подсчитать число статуй в каждом туннеле и убедиться в том, что и эта конструкция удовлетворяет условию задачи.

Особая признательность тем участникам, которые попробовали объяснить, каким образом они пытались получить решение. Запись решения – дело непростое, а донести до других свои «математические метания» – вдвойне непростое.

Сергей и Анастасия Маламоновы, шестиклассники из Омска, признались, что даже из огурцов раскладывали тоннели!

Татьяна Горохова, пятиклассница, Братск:

«Решали методом подбора. Есть хотя бы одна точка, из которой выходят три тоннеля. Путём подбора определяется, что таких точек – 6. Каждый тоннель пересекает ещё 4 тоннеля».

Святослав Сухинин, шестиклассник, Сочи:

«Строим два треугольника. Один стоит на основании, другой – на вершине. Их стороны пересекаются в четырёх точках каждая. По условию нам необходимо 5 точек пересечегния каждого из девяти тоннелей, поэтому достраиваем ещё три отрезка из вершины каждого треугольника к его основанию. Получаем девять тоннелей с пересечением в пяти точках».

Анастасия Соловьёва, пятиклассница, Омск:

«Задачу решали методом подбора.

Первый вариант – треугольник, который пересекают три прямые, параллельные основанию, но тогда точек пересечения будет 21, что противоречит условию.

Затем решили эти прямые преобразовать в треугольник. Получили два треугольника с вершинами, направленными в противоположные стороны.

Ну, а, затем, соединили противоположные вершины. Получили звезду».

Ирина Рымарь, Омск:

«Я просто "увидела" решение среди почти случайных линий на листе бумаги. Выбирала среди вариантов "часть линий параллельны, часть пересекаются по несколько штук в одной точке", потому что для "квадрат" 5х5 слишком много статуй и туннелей».

Николай и Арина Койковы, Омск:

«Ход решения:

Каждый тоннель имеет 5 статуй (то есть 5 пересечений). Всего 9 тоннелей, значит, при условии пересечения в одной точке только с одним тоннелем, должно получиться итого 45 пересечений (статуй), а по условию их должно быть 19. Соответственно, часть пересечений, должно быть с более чем с одним тоннелем. Например, 12 пересечений по 2 тоннеля и 7 пересечений по 3 тоннеля. (12*2 + 7*3 = 45)

Графически решетка этому условию не удовлетворяет, попробовали звезду».

Александр Зарыпов, Челябинск:

«Рассмотрим фигуру, образованную пересечением прямых, являющихся диагоналями правильного 6-угольника. Количество диагоналей в 6-угольнике по формуле k=n∗(n−3) 2 равно девяти. В вершинах и в центре этого 6-угольника в одной точке будут пересекаться по три прямых, остальные точки пересечения будут являться точками пересечения двух прямых. Всего точек пересечения — 19, на каждой прямой находится ровно 5 точек. Таким образом фигура, образованная пересечением прямых, являющихся диагоналями правильного 6-угольника, является примером конструкции, соответствующей высказыванию Торина.

Ответ: Элронд не имел основания для сомнений. Гномы не врут, когда дело касается вопросов строительства в скалах».

А один из участников искал решения на сфере!

Ещё раз благодарим всех участников, приславших нам решения, независимо от того, верны они или нет.

Вы искали, думали, рассуждали!

Ждём решений новых задач!

Обсуждение задачи здесь 

row