МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАРАФОН «ЗАДАЧА НЕДЕЛИ»
РЕШАЕМ И ОБСУЖДАЕМ!



Задача 10

06.04 – 12.04

Узнал как-то Иванушка-дурачок , что томятся у Кощея в плену три красавицы-девицы: Елена, Василиса и Мария. И, хотя девиц этих Иванушка никогда не видел, добрался он до Кощеева замка и потребовал освободить пленниц. Кощей пребывал в добром настроении и пообещал отпустить Иванушку и девиц вместе с ним, если тот выдержит испытание.

– Перед тобой предстанут Елена, Василиса и Мария. За ТРИ вопроса тебе нужно будет узнать, как кого зовут. Ты можешь задавать им вопросы, на которые можно отвечать только "да" и "нет". Каждый из трёх вопросов ты можешь задать одной из девушек, и отвечать на него будет только она. Можешь хоть все три вопроса задать одной и той же. Твоё дело, кого сколько раз спрашивать! Но не думай, что всё так просто! Елена на все вопросы будет отвечать правдиво. Василиса солжёт в ответ на первый заданный ей вопрос, а дальше будет отвечать правдиво. Мария солжёт в ответ на первый и второй заданные ей вопросы, а дальше и она будут отвечать правдиво.

Как Иванушке справиться с испытанием и за три вопроса узнать, кого из девушек как зовут?

Автор задачи с данным математическим содержанием Игорь Соломонович Рубанов.

Иванушка усилиями наших марафонцев одолел Кощея, хотя не все одинаково поняли условие (см. страницу с условием задачи 10). Поскольку задача и при другой интерпретации не стала проще, то оценивалась правильность решения двух разных задач. Верные решения прислали:

Владислав Шмурыгин (3 класс БОУ СОШ №61 г. Омска), Владимир Шмурыгин (6 класс БОУ ОО МОЦРО г. Омска), Анастасия Соловьева (6 класс СОШ № 132 г. Омска), Климентий Шапаков (6 класс МБОУ «Гимназия» г. Спасск-Дальний, Приморский край), Екатерина Шадрина (6 класс гимназии №75 г.Омска), Алексей Михайловский (7 класс лицея №22 г.Иваново), Елизавета Есешкина (8 класс БОУ СОШ №48 г. Омска), Артем Аксенов (4 класс СОШ №41 г.Омска), Алексей Фомин (6 класс Лицея №25 г. Омска).

Вот как решала задачу Екатерина Шадрина.

Спрашиваем всегда у первой девушки.

Обозначим: Василиса-В, Мария-М, Елена –Е.

Вот ещё одно решение, использующее тот факт, что на третий вопрос все девушки отвечают правдиво.

Спросим дважды подряд у любой девушки: «Тебя зовут Василиса?» Елена два раза ответит «Нет», Василиса на первый вопрос ответит «Нет», а на второй — «Да», а Мария оба раза скажет «Да». Так мы за два вопроса узнаем, как зовут нашу собеседницу. Затем спросим у неё, указав на любую из двух остальных: «Эту девушку зовут Елена (Василиса, Мария)?» Теперь мы получим на свой третий вопрос правдивый ответ, который позволит идентифицировать оставшихся девушек.

Решение Алексея Фомина.

Будем задавать вопросы девушкам по очереди, в зависимости от ответа первой девушки.

Первый вопрос должен быть : «Ты Василиса? » первой девушке. Если она ответит «да»,то это точно Мария, так как Василиса соврет и скажет «нет» на этот вопрос, а Елена скажет «нет»,так как говорит правду. Второй вопрос задаем второй девушке (Василиса или Елена): «Ты Мария? » если ответ на второй вопрос «да», то это Василиса (т.к. она обманет) следовательно, третья девушка – Елена. Если ответ на второй вопрос «нет», то это Елена, так как она говорит правду, а Василиса бы соврала.

Если первая девушка на первый вопрос ответит «нет», то это либо Елена, либо Василиса. Тогда второй вопрос мы задаем той же самой девушке. Если она опять сказала «нет», то это Елена, потому что Василиса ответила бы «да». Третий вопрос тогда будет «Ты Василиса? » второй девушке. Если ответ «да», то это Мария, если нет, то это Василиса. Если на второй вопрос первая девушка отвечает «да», то это Василиса,тк она второй раз говорит правду. Остаются Мария и Елена. Третий вопрос будет второй девушке «Ты Василиса»? Елена скажет «нет», Мария скажет «да».

Решение Алексея Михайловского.

Иван задаёт вопросы исходя из того, что никогда не встречался с красавицами.

1.Первый вопрос можно задать любой из красавиц.

«Девушка, мы с Вами раньше виделись (встречались)?»

Если ответ - «Да» (а это неправда), то девушку зовут Василиса или Мария.

Второй вопрос надо задать ей же.

«Вы сейчас сказали правду?»

Если ответ - «Нет» (а это правда), то девушку зовут Василиса (она говорит неправду только на первый вопрос). Если ответ – «Да» (а это опять неправда), то это – Мария, которая солжет на два вопроса.

Третий вопрос (такой же, как первый) задать второй из красавиц.

«Девушка, мы с Вами раньше виделись?»

Если ответ - «Да» (а это неправда), то девушку зовут Василиса или Мария в зависимости от того, кем оказалась первая девушка.

Если ответ – «Нет» (а это правда), то это - Елена, которая правдиво отвечает на все вопросы.

А третью оставшуюся девицу зовут соответственно либо Василиса, либо Мария (опять же в зависимости от того, кем оказалась первая девушка).

2.Если же Ивану посчастливится попасть сразу на правдивую Елену, то вопросов можно задать всего два.

Первый вопрос: «Девушка, мы с Вами раньше виделись?»

Ответ – «Нет», следовательно, это Елена.

Второй вопрос (указав на одну из оставшихся девушек): «Эту девушку зовут Василиса?».

Если ответ – «Да», то это действительно Василиса, а третья – Мария.

Если ответ – «Нет», то это – Мария, а третья – Василиса.

Если же по условию Кощея вопросов должно быть обязательно три, то можно и про третью девушку узнать у Елены. Например, «Это Мария?».

И сделать соответствующий вывод.

Решение и рисунок Климентия Шапакова.

Иванушке надо одной из девушек задать вопрос, например: «Ты мужчина?»

Если ответ будет НЕТ значит перед ним Елена. Тогда любой из оставшихся девушек он задаёт вопрос: «Девушку, которую я только что спрашивал, зовут Елена?» Ответ однозначно будет, НЕТ (ПОТОМУ ЧТО ПЕРЕД НИМ ДВЕ ЛГУНЬИ). И он опять задаёт этот же вопрос этой же девушке. В зависимости от ответа он разгадает имена оставшихся двух девушек, т.к. он знает, что Василиса солжёт только один раз а Мария на оба его вопроса ответит неправду.

Если ответ будет ДА тогда перед ним или Василиса или Мария, он опять задаёт тот же самый вопрос этой же девушке, если ответ будет ДА. То перед ним Мария. Тогда у любой другой девушки он спрашивает: «Девушку, которую я только что спрашивал, зовут Мария?» если ответ будет ДА, то отвечавшую зовут Елена, а если НЕТ, то Василиса.

Если ответ будет ДА тогда перед ним или Василиса или Мария, он опять задаёт тот же самый вопрос этой же девушке, если ответ будет НЕТ, значит перед ним Василиса. Тогда у любой другой девушки он спрашивает: «Девушку, которую я только что спрашивал, зовут Василиса?» если ответ будет ДА, то отвечавшую зовут Елена, а если НЕТ, то Мария.

row