О шестизадачной версии варианта школьного и муниципального тура.

А.С. Штерн, председатель РМК по математике в Омской области.

          Подготовкой школьного и муниципального этапа ВОШ по математике в Омской области занимается Региональная методическая комиссия. Мы предложили свои услуги по подготовке заданий школьного этапа задолго до того, как это стало обычной практикой. Имеющийся опыт позволяет нам сформулировать некоторые принципы построения варианта, общие для этих этапов. Остановлюсь на вариантах для старших (9-11) классов.

          Прежде всего: у нас установилась практика составления шестизадачного варианта. Этот подход, разумеется, имеет свои плюсы и минусы. Главный минус заключается в том, что у школьника «разбегаются глаза» и на этой почве возникает некоторая нервозность, которая мешает выполнить работу качественно. Плюсы же мы видим в следующем.

1.  Школьник может выбрать задачи по вкусу и продемонстрировать свои наиболее сильные стороны. Принцип «Если ты профессионал, то должен уметь делать всё» на этих этапах олимпиады неприменим именно потому, что здесь соревнуются не профессионалы.

2.  Минимизируется опасность неправильного позиционирования задачи, неточности формулировок и т.д. Такие ошибки, конечно, создают определённые проблемы, но не обрушивают вариант.

3.  Более широкий спектр итоговых оценок позволяет установить достаточно естественную границу дипломов, позволяющую отметить практически всех перспективных школьников и предоставить им возможность выступления в следующем туре.

Особенности подготовки варианта из 6 задач.

Прежде всего, задачи позиционируются парами. В пару входят две задачи близкие по сложности, но контрастные по содержанию и адресованные разным школьникам. Выглядит это так.

Задачи 1-2 (лёгкие).  Простая задача конструктивного типа (алгоритм или головоломка) и школьная задача чуть повышенной сложности. Обычно здесь появляются задачи по алгебре или в 11-м классе по стереометрии. Задачи по планиметрии – очень редко.

Задачи 3-4 (средние). Две задачи с относительно школьной формулировкой, но не решаемые стандартным применением школьных методов. Одна из этих задач обязательно планиметрическая. Её трудность в необходимости внимательного анализа чертежа или вариативности условия, но не в дополнительных построениях, о которых школьник без специальной олимпиадной подготовки не имеет никакого представления. Вторая задача алгебраическая. Возможные типы: задача на моделирование, не сводящаяся прямо к решению уравнения или системы уравнений; доказательство неравенств с помощью сравнения левой части с правой и некоторых алгебраических преобразований без использования специальных методов (индукция, применение классических неравенств и т.д.); требующие известной изобретательности тригонометрические преобразования; суммирование числовых выражений и.д. Этими задачами проверяется глубина понимания школьного курса и (для 10-11 класса) способность усвоения профильных математических курсов в университете.

Задачи 5-6 (сложные)

Школьник, набравший на предыдущих задачах 23-25 баллов, почти всегда становится призёром и, как правило, участником следующего тура. Даже, если он и не брался за две последние задачи. Последние две задачи демонстрируют шансы стать призёром следующего тура или хотя бы побороться в нём за призовое место. Здесь, в отличие от предыдущих случаев, важно чёткое позиционирование: пятую задачу нельзя путать с шестой. На муниципальном туре пятая задача по трудности примерно совпадает с задачами регионального тура под номерами 1, 2, 5. Шестая примерно уровня задач 3, 6, 7.  Конечно, в этих сравнениях присутствует элемент условности. Среди задач 5-6 на муниципальном туре должна быть классическая «олимпиадчина»: графы, теория чисел, сложная задача на оценки или сложная алгоритмика. Здесь не нужно ограничивать себя требованием близости или связи со школьной программой. Это требование не считается обязательным даже для последних задач ЕГЭ и, тем более, неуместно здесь. Тематически хорошо выглядит следующие сочетания: «сложная геометрия +  алгоритмика» или «граф + комбинаторная задача на делимость», но, конечно, возможны и другие варианты. Для большинства участников эти задачи недоступны. В то же время знакомство с ними полезно, поскольку расширяет представление о том, что такое математическая задача, а у некоторых участников вызывает желание приобрести навыки решения таких задач.  Отсюда ещё одно требование к этой паре задач: формулировка должна быть краткой и предельно ясной. Школьник может не иметь никаких идей решения, но должен, по крайней мере, чётко понимать, чего от него хотят.

          Далее приводится образец шестизадачного варианта для учеников 10-го класса. По уровню сложности — это, скорее, вариант муниципального тура, но знакомство с вариантом будет полезно и при подготовке к школьному туру.

Шестизадачный вариант для учеников 10-го класса.

Тандем 1-2

На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда обманывают. Правитель острова решил устроить приём в зале, имеющем форму прямоугольника 2´2012, расчерченного на квадраты со стороной 1. Он поручил мажордому пригласить 2012 лжецов и 2012 рыцарей, и расставить их по квадратам так, чтобы каждый мог сказать «В квадратах, соседних с моим по стороне, рыцарей больше, чем лжецов». Сможет ли мажордом выполнить распоряжение короля?

Решение. Да, можно. Например, так.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебра и логика (алгебраические преобразования)

Про число x известно, что оно является решением уравнения
x4
  2x3 + 1 = 0. Какие значения может принимать величина x3 – x2  х?

Ответ±1.

Решение. Проделаем следующие преобразования

x4–2x3+1= x4x3x3+1=(x–1)( x3 – х2 –х –1). Если х — корень исходного уравнения, то, либо , либо выполнено равенство x3 – х2 –х –1 =0. В первом случае выражение

x3 – х2 –х –1 равно -1, во втором оно равно1.

Тандем 3-4

Счётная геометрия

В прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС=2 см двумя различными  способами вписали один и тот же прямоугольник, не являющийся квадратом (см. рисунок). Найдите периметр этого прямоугольника.
Ответ: 4 см. Решение.

гемо.pngПусть длины сторон прямоугольника равны соответственно х и у. Рассмотрим треугольники ЕКВ и НМВ. Они подобны по двум углам, тогда ф1.png, т.е. ф2.png. Преобразуем последнее равенство: ф3.png, т.е. ф4.png. Так как по условию прямоугольник не является квадратом, то ф5.png, тогда периметр прямоугольника равен ф6.png см.

Моделирование.

В первых трех классах школы учатся 140 детей, причем третьеклассников вдвое больше, чем второклассников. В День именинника ученики первых, вторых и третьих классов дарили друг другу подарки, причем каждый школьник мог выбирать любого из учеников. Оказалось, что каждый второклассник подарил на один подарок больше, чем получил; третьеклассник — на два, но каждый первоклассник подарил на три меньше, чем получил. Определите, сколько в школе третьеклассников.
Ответ: В школе 60 третьеклассников. Решение. Пусть П — количество первоклассников, В — второклассников, Т — третьеклассников. Тогда по условию П+В+Т=140 и Т=2В. Разность количества подаренных подарков и количества полученных равна В+2Т­–3П. Но количество всех подаренных  равно количеству полученных, поэтому В+2Т­–3П=0. Решая систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получаем П=50, В=30, Т=60.

 

Тандем 5-6

«Круглая геометрия»
Четыре круга с радиусом 1 и центрами A, B, C, D расположены на плоскости так, что каждый круг касается ровно двух других. А пятый круг касается двух кругов внешним образом и проходит через центры двух других. Найдите все возможные значения площади четырёхугольника ABCD.

Делимость почти без алгебры.

Натуральное число n³6 называется своеобразным, если оно делится на все натуральные числа, не превосходящие ф7.png. Найдите все своеобразные числа и докажите, что других нет.

Ответ. Всего 11 чисел: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 24. Решение. Если nÎ[6;12), то единственное целое число, не превосходящее ф7.png, это 1, а на 1 делится любое натуральное число.  Поэтому все числа из этого промежутка своеобразные. Если nÎ[12;17), то все целые числа, не превосходящие ф7.png, это 1 и 2. Поэтому четные числа из этого промежутка будут своеобразными, а нечётные не будут. Целое число из промежутка [18;23) должно делиться на 3 и на 2, чтобы быть своеобразным. Единственное такое число – 18. Число 24 делится на 3 и 4, поэтому тоже будет своеобразным. Докажем, что ни одно число, большее 24, своеобразным быть не может. Будем рассуждать от противного. Пусть n>24 – своеобразное число. Тогда оно делится на 3 и 4, в частности, на 6. Пусть n=6k. Тогда 6k делится на k–1 Þ 6= 6k – 6(k–1) делится на k–1Þ k=7, 4, 3, 2. Из этих значений только при k=7 получаем n=42>24. Но число 42 не делится ни на 4, ни на 5, и поэтому не является своеобразным.

 

 

row